Rechenaufgaben

[Cybermancer]

Wir können das Problem gleich mal verallgemeinern.

Seinen 2 Punkte P_1, P_2 gegeben, welche auf unterschiedlichen Höhen liegen (aber nicht direkt untereinander).
Welche von allen möglichen Verbindungswegen von P_1 nach P_2 minimiert die Durchlaufszeit eines materiellen Punktes, der sich unter dem Einfluss der Schwerkraft bewegt?

Any takers?

[giffi marauder]

Wir können das Problem gleich mal verallgemeinern.

Seinen 2 Punkte P_1, P_2 gegeben, welche auf unterschiedlichen Höhen liegen (aber nicht direkt untereinander).
Welche von allen möglichen Verbindungswegen von P_1 nach P_2 minimiert die Durchlaufszeit eines materiellen Punktes, der sich unter dem Einfluss der Schwerkraft bewegt?

Any takers?

Any understanders?

[Cybermancer]

[giffi marauder]

https://www.youtube.com/watch?v=zYOAUG8PxyM

Ok, die Frage war, welche Form hat der Weg.

[Cybermancer]

https://www.youtube.com/watch?v=zYOAUG8PxyM

Ok, die Frage war, welche Form hat der Weg.

Das ist ja, was herausgefunden werden soll.

[giffi marauder]

https://www.youtube.com/watch?v=zYOAUG8PxyM

Ok, die Frage war, welche Form hat der Weg.

Das ist ja, was herausgefunden werden soll.

In meiner Vorstellung befindet sich der Materiepunkt in einer bestimmten Höhe (P1) und
"fällt" mit 1g gleichmäßig beschleunigt auf die Höhe P2 herab.
Damit ist die Zeit aber vorgegeben.
Um aber nicht nur runterzufallen sondern auch noch einen Punkt in einer bestimmten X-Distanz
zu treffen, muss er auch noch in Richtung Ziel beschleunigt werden.
Bei gleich viel zur Verfügung stehen Zeit, ist die dafür notwendige Beschleunigung proportional zum Verhältnis von Y-Höhendifferenz und X-Distanz.
Gemäß der Gleichung s=0,5.a.t2 legt der Punkt in der Hälfte der Zeit dann sowohl 1/4 der Höhendifferenz als auch 1/4
der X-Distanz zurück.
Die Position nach der Hälfte der Zeit liegt dann aber auf der direkten Verbindungslinie von P1 und P2 und nicht irgendwo darunter.
Wäre die Bewegung in X-Richtung nicht beschleunigt sondern gleichmäßig, wäre die Verbindungslinie anders gekrümt,
da das konstante dx im Verhältnis zu beschleunigten dy am Anfang größer wäre als am Ende.
(1/4 in Richtung y und 1/2 Weg in Richtung x)
In "deiner" Kurve ist die Höhe von P2 aber schon fast erreicht P2 aber immer noch ziemlich weit weg.
Da muss der Punkt schon ordentlich Gas geben, um das Ziel noch zu erreichen, bevor er zu tief ist.
Ich schließe daraus, ich hab die Frage noch immer nicht Verstanden.

PS:
Jetzt hab ichs, da gehts um eine Rollbahn und nicht um freien Fall.
Jetzt ist mir auch der Zusammenhang mit dem Rätsel vorher etwas klarer.
https://de.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone

[Cybermancer]

https://www.youtube.com/watch?v=zYOAUG8PxyM

Ok, die Frage war, welche Form hat der Weg.

Das ist ja, was herausgefunden werden soll.

In meiner Vorstellung befindet sich der Materiepunkt in einer bestimmten Höhe (P1) und
"fällt" mit 1g gleichmäßig beschleunigt auf die Höhe P2 herab.
Damit ist die Zeit aber vorgegeben.
Um aber nicht nur runterzufallen sondern auch noch einen Punkt in einer bestimmten X-Distanz
zu treffen, muss er auch noch in Richtung Ziel beschleunigt werden.
Bei gleich viel zur Verfügung stehen Zeit, ist die dafür notwendige Beschleunigung proportional zum Verhältnis von Y-Höhendifferenz und X-Distanz.
Gemäß der Gleichung s=0,5.a.t2 legt der Punkt in der Hälfte der Zeit dann sowohl 1/4 der Höhendifferenz als auch 1/4
der X-Distanz zurück.
Die Position nach der Hälfte der Zeit liegt dann aber auf der direkten Verbindungslinie von P1 und P2 und nicht irgendwo darunter.
Wäre die Bewegung in X-Richtung nicht beschleunigt sondern gleichmäßig, wäre die Verbindungslinie anders gekrümt,
da das konstante dx im Verhältnis zu beschleunigten dy am Anfang größer wäre als am Ende.
(1/4 in Richtung y und 1/2 Weg in Richtung x)
In "deiner" Kurve ist die Höhe von P2 aber schon fast erreicht P2 aber immer noch ziemlich weit weg.
Da muss der Punkt schon ordentlich Gas geben, um das Ziel noch zu erreichen, bevor er zu tief ist.
Ich schließe daraus, ich hab die Frage noch immer nicht Verstanden.

PS:
Jetzt hab ichs, da gehts um eine Rollbahn und nicht um freien Fall.
Jetzt ist mir auch der Zusammenhang mit dem Rätsel vorher etwas klarer.
https://de.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone

Hier noch ein schönes Anschlussproblem: Gebe die Form einer Kette mit Länge L, die unter Einfluss der Schwerkraft zwischen zwei Punkte durchhängt.
Tip: Lagrange-Multiplikator

[Cybermancer]

Keiner? Nicht mal ein Versuch?

[giffi marauder]

Keiner? Nicht mal ein Versuch?

Ad hock geht da gar nichs und eine Lösung googeln ist ja jetzt auch nicht Sinn der Sache.
Aber rein gefühlsmäßig würde ich auf einen Kegelschnitt ev. eine Parabel tippen.
Gegoogelt.
https://de.wikipedia.org/wiki/Kettenlinie_(Mathematik)
Ok, im unteren Bereich stimmts annähernd.

[giffi marauder]

Auch wenns eigentlich trivial ist:
x% von y = y% von x
Also 24% von 50 = 50% von 24 = 12.

[Eisrose]

In diesem Spiegelartikel kann man den Mathe-Pisatest selber machen. Falls jemand man wissen möchte, wie er abgeschnitten hätte.

P.S. Bei mir: "Sie haben 22 von 23 Fragen richtig beantwortet. Sehr gut! Sie gehören zu den Besten des Landes. Respekt!" Wobei der eine Fehler eher ein Konzentrationsfehler bei einer einfachen Prozentaufgabe war, weil ich fertig werden wollte, grummel.

[Eisrose]

Hausaufgabe 3. Klasse:

Wie kann man es zeichnerisch darstellen, dass 2/3 nicht immer äquivalent zu 4/6 sind?

Hmmmmm...

[giffi marauder]

Hausaufgabe 3. Klasse:

Wie kann man es zeichnerisch darstellen, dass 2/3 nicht immer äquivalent zu 4/6 sind?

Hmmmmm...

Ziemlich einfach:
Man macht eine grafische Darstellung von 2/3
und dann das Gleiche noch mal, nur doppelt so gross.

[Eisrose]

Hausaufgabe 3. Klasse:

Wie kann man es zeichnerisch darstellen, dass 2/3 nicht immer äquivalent zu 4/6 sind?

Hmmmmm...

Ziemlich einfach:
Man macht eine grafische Darstellung von 2/3
und dann das Gleiche noch mal, nur doppelt so gross.

Ja, das ist die offizielle "Lösung". Ehrlich gesagt finde ich die abartig und die hat auch was von alternativer Mathematik. Denn 2/3 ist ja keine Variable, die für einen Flächeninhalt steht. Mathematisch sind 2/3 nicht nur äquivalent zu 2/3 (oder 4/6), sondern das gleiche. Das 2/3 von irgendetwas unterschiedlich gross sein kann, steht dem nicht entgegen. Sonst könnte man auch sagen, dass 2 ungleich 2 ist, weil 2 Äpfel etwas anderes als 2 Birnen sind.

[giffi marauder]

Ein neues kleines Rätsel
https://www.spiegel.de/karriere/raetsel ... v2-Xwku0qa
Angabe:
a+b+c+...=100
a*b*c=? soll maximal werden.

Spoiler

Überlegung mit 2 Zahlen
a+b=100 -> b=100-a
a*b=a(100-a)=100a-a2
Da das ein symetrsiche quadratische Funkion mit f(0)=f(100)=0 ist,
liegt das Maximum genau in der Mitte bei a=50
(oder auch Extremwert=Nullstelle des Differenzials (100-2a)=0 -> 100=2a-> a=50)

Dies kann man auch daraus schließen, dass a²>(a-1)(a+1)=a²-2a+1>(a-2)(a+2)=a²-4a+4....
Im besten Fall sind also die beiden Faktoren (anähernd) gleich groß.
Somit ist das Maximalprodukt bei nur 2 Zahlen (100/2)^2

Schauen wir uns das mal mit 4 Zahlen a,b,c,d an, so wird ziemlich schnell klar,
dass durch a+b+c+d=(a+b)(c+d) bzw. a*b*c*d =(a*b)*(c*d) das Maximum bei 25,25,25,25 liegen muss
Das ist dann (100/4)^4

Also haben wir vermutlich für das Maximalprodukt für z Zahlen folgende Funktion:
MaxP=(100/z)^z
Und wie hoch soll nun das z sein?.
Ähnlich wie oben schauen wir uns die Funkiton an.
P(1)=(100/1)^1=100
P(2)=(100/2)^2=2500
P(100)=(100/100)^100=1
Weiters ist insbesondere P(25)=(100/25)^25=4^25=2^50
und P(50)=(100/50)^50=2^50
Das Maximum liegt also irgendwo zwischen 25 und 50 Zahlen.
Nur 2'er sind also womöglich doch nicht die Lösung, wie ich instiktiv vermutet hätte.
Bleiben also nur noch möglichst viele Dreier.
Da mehr als 33 Dreier nicht möglich sind,
sind das dann wohl 32 Dreier und 2 Zweier also (3^32)*(2^2) (P1)

2 Dreier weniger dafür 3 Zweier mehr wären dann (3^30)*(2^5) (P2)
und P1/P2 = 3^2/2^3= 9/8 und somit P2 kleiner als P1.

Somit ist P1 das Maximum und 32 Dreier + 2 Zweier die Lösung.
Was dann die ziemlich große Zahl mit ca. 7.412.080,755 Mrd wäre.

So und jetzt seh ich mir die Lösung an:
Nailed it.