Rechenaufgaben

[Cybermancer]

Wofür? Warum sollte eine minimale Lösung die Richtige sein, neben den unendlich vielen anderen?

[giffi marauder]

Wofür? Warum sollte eine minimale Lösung die Richtige sein, neben den unendlich vielen anderen?

Von "richtiger" hab ich eh nichts geschrieben.

[Cybermancer]

Wofür? Warum sollte eine minimale Lösung die Richtige sein, neben den unendlich vielen anderen?

Von "richtiger" hab ich eh nichts geschrieben.

-> https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scr ... ophant.htm

Versuch dein Glück

[giffi marauder]

Wofür? Warum sollte eine minimale Lösung die Richtige sein, neben den unendlich vielen anderen?

Von "richtiger" hab ich eh nichts geschrieben.

-> https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scr ... ophant.htm

Versuch dein Glück

Na, dann mach ich doch gleich mal.

Wir nehmen die Differenz der beiden Gleichungen von oben
50=88a+60b+9c+11d
50=12a+40b+91c+89d

0=76a + 20b - 82c - 78d

und setzen diese als "76a + 20b - 82c - 78d = 0" in den Slover ein.

Der wirft dann folgende Lösung(en) aus
a = q
b = 41p + 29q - 33r
c = 10p + 8q - 9r
d = r

Nehmen wir an, dass die Prozentangaben jeweils "ganzen" Personen entspricht,
so sind die minimalwerte für q=a=25 (wg 88 und 12%) und d=r=100 (wg. 11+89%)
Das kleinste p für c >=100 (wg. 9+91%) wäre dann 80 und somit 860 Personen insgesamt.

Da p aber möglichst klein sein sollte, probieren wir da ein bisschen rum:
für q=50, r=100 -> p=60 -> 860 Personen
für q=100, r=100 -> p=20 -> 720 Personen

Somit ergibt sich folgende Aufstellung:
a/b/c/d
Ges: 100/420/100/100
D: 88/252/9/11
R: 12/168/91/89
in Prozenz von a/b/c/d
D 88%/60%/9%/11%
R 12%/40%/91%/89%

Sehr schön.

[Cybermancer]

Wofür? Warum sollte eine minimale Lösung die Richtige sein, neben den unendlich vielen anderen?

Von "richtiger" hab ich eh nichts geschrieben.

-> https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scr ... ophant.htm

Versuch dein Glück

Na, dann mach ich doch gleich mal.

Wir nehmen die Differenz der beiden Gleichungen von oben
50=88a+60b+9c+11d
50=12a+40b+91c+89d

0=76a + 20b - 82c - 78d

und setzen diese als "76a + 20b - 82c - 78d = 0" in den Slover ein.

Der wirft dann folgende Lösung(en) aus
a = q
b = 41p + 29q - 33r
c = 10p + 8q - 9r
d = r

Nehmen wir an, dass die Prozentangaben jeweils "ganzen" Personen entspricht,
so sind die minimalwerte für q=a=25 (wg 88 und 12%) und d=r=100 (wg. 11+89%)
Das kleinste p für c >=100 (wg. 9+91%) wäre dann 80 und somit 860 Personen insgesamt.

Da p aber möglichst klein sein sollte, probieren wir da ein bisschen rum:
für q=50, r=100 -> p=60 -> 860 Personen
für q=100, r=100 -> p=20 -> 720 Personen

Somit ergibt sich folgende Aufstellung:
a/b/c/d
Ges: 100/420/100/100
D: 88/252/9/11
R: 12/168/91/89
in Prozenz von a/b/c/d
D 88%/60%/9%/11%
R 12%/40%/91%/89%

Sehr schön.

Also in der Problembeschreibung nicht zu erwähnen, ob man eine eindeutige Lösung erwartet oder den Repräsentaten einer Lösungsschar ist schon mal nicht so der Burner.

[giffi marauder]

Also in der Problembeschreibung nicht zu erwähnen, ob man eine eindeutige Lösung erwartet oder den Repräsentaten einer Lösungsschar ist schon mal nicht so der Burner.

Nun ja, ich sehr das hier mehr als gedankliche Spielwiese als den Platz zum Stellen von Prüfungsaufgaben mit vorgegebener, klar definierter
und bewertbarer Lösungsmenge.
Tatsächlich hatte ich beim Formulieren der Problembeschreibung selbst noch gar keine Idee,
ob es überhaupt eine ganzahlige Lösung für a,b,c,d oder gar eine eindeutige Lösung geben könnte.
Aber den Gedanken-Weg unter Zuhilfenahme von
- lineare Gleichungssysteme
- diophantischen Gleichungen
- (noch ausstehende *) linearer Optimierung
aus der mathematischen Werkzeugkiste
zu einer "minimalen" ganzzahligen Lösung fand ich ausgesprochen inspirierend.

(*)
Ein Online-Tool dafür findet sich unter anderem hier:
https://www.wolframalpha.com/widgets/vi ... 7d6d496120
allerdings fehlt mir noch die Idee das Problem mit den vielen Nebenbedingungen geeignet zu formulieren.

[giffi marauder]

mal wieder ein kleine Matherätsel:

Schreiben Sie alle ganzen Zahlen von 1 bis 500 auf ein Blatt Papier. Wählen Sie dann zwei, drei, vier oder fünf dieser Zahlen aus, addieren sie und teilen die Summe durch 13. Streichen Sie danach die ausgewählten Zahlen und fügen dafür den Divisionsrest der Liste hinzu. Dieses Verfahren wiederholen Sie so oft, bis nur noch zwei Zahlen auf Ihrem Blatt stehen. Wenn eine dieser beiden Zahlen 102 ist, welches ist dann die andere?

Die Lösung ist hier:

Spoiler

https://www.spektrum.de/raetsel/die-ver ... hn/1575738

Meine Überlegung war ähnlich:
Modulo 13 gibt die Reste 0..12
102 "entsteht" somit nicht, sondern steht schon immer dort.
Modulo Operationen sind distributiv, können also "geteilt" werden:
(a+b+c) mod 13 = (a)mod13+(a+b) mod 13 etc..
Die beiden letzten Zahlen sind also 102 und der Rest der Gesamtsumme der restlichen Zahlen Mod 13.
Summe von 1..500 (ohne die 102) = (500*501)/2 -102 =125.148
Mit dem Taschenrechner wird schnell klar, dass dies 10 ist.
Ohne Taschenrechner ziehen wir jetzt Vielfache von 13 solange ab bis eine Zahl mit Betrag kleiner 13 rauskommt.
125.148-13000=-4.852
-4.852+3900=-952 (dazuzählen geht natürlich auch)
-952+1300=348
348-260=88
88- 52=36
36-26=10

[Goshun]

mal wieder ein kleine Matherätsel:

Schreiben Sie alle ganzen Zahlen von 1 bis 500 auf ein Blatt Papier. Wählen Sie dann zwei, drei, vier oder fünf dieser Zahlen aus, addieren sie und teilen die Summe durch 13. Streichen Sie danach die ausgewählten Zahlen und fügen dafür den Divisionsrest der Liste hinzu. Dieses Verfahren wiederholen Sie so oft, bis nur noch zwei Zahlen auf Ihrem Blatt stehen. Wenn eine dieser beiden Zahlen 102 ist, welches ist dann die andere?

Spoiler

Als aller erstes muss es egal sein ob zwei, drei, vier oder fünf zahlen ausgewählt werden.
Es verbietet keiner immer nur "zufällig" 2 auszuwählen.

Also schnell in den Computer gehackt und siehe da: als zweite Zahl neben 102 steht immer 10 da auch wenn man das Programm mehrmals durchlaufen lässt und immer andere zufällige Auswahl trifft.

Kleiner Test gemacht: was kommt raus wenn man alle Zahlen miteinander addiert bis auf 102 und diese Zahl MOD 13 nimmt? (das kann man wieder mit einem Programm machen oder man überlegt sich: 1 + 2 + 3 + ... 498 + 499 + 500 = (1 + 500) + (2 + 499) + (3 + 498) ... = 501 * 250)

Zum Schluss zieht man auf jeden Fall 102 ab und bekommt 125148. Rechnet man hier jetzt den Rest der Division durch 13 aus bekommt man ...
tadaaa...

10 als Ergebnis.

Es ist also völlig egal wie viele Zahlen man pro Schritt addiert und in wie vielen Schritten man das macht. Ob man mit einem Schritt alle zusammenrechnet und dann MOD 13 nimmt oder ob man immer 2 nimmt oder mal 2 mal 3 mal 5 usw.

Warum ist das so? Die Ursache liegt meiner Meinung nach im Distributivgesetz was für die Operation "Modulo" mit der Addition gilt.

(b + c)%a = b%a + c%a

Edit: Spoilertag hinzugefügt

[giffi marauder]

Ein Vater verschenkt an seine 3 Söhnen zusammen 17 Oldtimer:
der 1. Sohn bekommt die Hälfte
der 2. Sohn bekommt ein Drittel
und der 3. Sohn bekommt ein Neuntel
davon.
Wer bekommt wie viele?

Spoiler

Der Vater kauft sich einen 18. Oldtimer.
Dann bekommt der 1. Sohn 9 (1/2)
der 2. Sohn 6 (1/3)
der 3. Sohn 2 (1/9)
Da die Söhne nun 9+6+2=17 Oldtimer bekommen haben,
kann der Vater den 18. wieder verkaufen.

[Frosch]

der 1. Sohn bekommt die Hälfte
der 2. Sohn bekommt ein Drittel
und der 3. Sohn bekommt ein Neuntel
davon.

Das macht zusammen nicht eins oder neun Neuntel, sondern nur 8,5 Neuntel. Daher klappt die Rechnung im Spoiler. Allerdings würde ich meinen, daß der Vater nicht alles an seine Söhne geben wollte, sondern eben ein Achtzehntel an jemand anderes, daher stimmt das jetzt nicht.

[giffi marauder]

der 1. Sohn bekommt die Hälfte
der 2. Sohn bekommt ein Drittel
und der 3. Sohn bekommt ein Neuntel
davon.

Das macht zusammen nicht eins oder neun Neuntel, sondern nur 8,5 Neuntel. Daher klappt die Rechnung im Spoiler. Allerdings würde ich meinen, daß der Vater nicht alles an seine Söhne geben wollte, sondern eben ein Achtzehntel an jemand anderes, daher stimmt das jetzt nicht.

Das kann ich nicht beurteilen, ich kenn den Vater ja nicht persönlich.