Rechenaufgaben

[Cybermancer]

Wir können das Problem gleich mal verallgemeinern.

Seinen 2 Punkte P_1, P_2 gegeben, welche auf unterschiedlichen Höhen liegen (aber nicht direkt untereinander).
Welche von allen möglichen Verbindungswegen von P_1 nach P_2 minimiert die Durchlaufszeit eines materiellen Punktes, der sich unter dem Einfluss der Schwerkraft bewegt?

Any takers?

[giffi marauder]

Wir können das Problem gleich mal verallgemeinern.

Seinen 2 Punkte P_1, P_2 gegeben, welche auf unterschiedlichen Höhen liegen (aber nicht direkt untereinander).
Welche von allen möglichen Verbindungswegen von P_1 nach P_2 minimiert die Durchlaufszeit eines materiellen Punktes, der sich unter dem Einfluss der Schwerkraft bewegt?

Any takers?

Any understanders?

[Cybermancer]

[giffi marauder]

https://www.youtube.com/watch?v=zYOAUG8PxyM

Ok, die Frage war, welche Form hat der Weg.

[Cybermancer]

https://www.youtube.com/watch?v=zYOAUG8PxyM

Ok, die Frage war, welche Form hat der Weg.

Das ist ja, was herausgefunden werden soll.

[giffi marauder]

https://www.youtube.com/watch?v=zYOAUG8PxyM

Ok, die Frage war, welche Form hat der Weg.

Das ist ja, was herausgefunden werden soll.

In meiner Vorstellung befindet sich der Materiepunkt in einer bestimmten Höhe (P1) und
"fällt" mit 1g gleichmäßig beschleunigt auf die Höhe P2 herab.
Damit ist die Zeit aber vorgegeben.
Um aber nicht nur runterzufallen sondern auch noch einen Punkt in einer bestimmten X-Distanz
zu treffen, muss er auch noch in Richtung Ziel beschleunigt werden.
Bei gleich viel zur Verfügung stehen Zeit, ist die dafür notwendige Beschleunigung proportional zum Verhältnis von Y-Höhendifferenz und X-Distanz.
Gemäß der Gleichung s=0,5.a.t2 legt der Punkt in der Hälfte der Zeit dann sowohl 1/4 der Höhendifferenz als auch 1/4
der X-Distanz zurück.
Die Position nach der Hälfte der Zeit liegt dann aber auf der direkten Verbindungslinie von P1 und P2 und nicht irgendwo darunter.
Wäre die Bewegung in X-Richtung nicht beschleunigt sondern gleichmäßig, wäre die Verbindungslinie anders gekrümt,
da das konstante dx im Verhältnis zu beschleunigten dy am Anfang größer wäre als am Ende.
(1/4 in Richtung y und 1/2 Weg in Richtung x)
In "deiner" Kurve ist die Höhe von P2 aber schon fast erreicht P2 aber immer noch ziemlich weit weg.
Da muss der Punkt schon ordentlich Gas geben, um das Ziel noch zu erreichen, bevor er zu tief ist.
Ich schließe daraus, ich hab die Frage noch immer nicht Verstanden.

PS:
Jetzt hab ichs, da gehts um eine Rollbahn und nicht um freien Fall.
Jetzt ist mir auch der Zusammenhang mit dem Rätsel vorher etwas klarer.
https://de.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone

[Cybermancer]

https://www.youtube.com/watch?v=zYOAUG8PxyM

Ok, die Frage war, welche Form hat der Weg.

Das ist ja, was herausgefunden werden soll.

In meiner Vorstellung befindet sich der Materiepunkt in einer bestimmten Höhe (P1) und
"fällt" mit 1g gleichmäßig beschleunigt auf die Höhe P2 herab.
Damit ist die Zeit aber vorgegeben.
Um aber nicht nur runterzufallen sondern auch noch einen Punkt in einer bestimmten X-Distanz
zu treffen, muss er auch noch in Richtung Ziel beschleunigt werden.
Bei gleich viel zur Verfügung stehen Zeit, ist die dafür notwendige Beschleunigung proportional zum Verhältnis von Y-Höhendifferenz und X-Distanz.
Gemäß der Gleichung s=0,5.a.t2 legt der Punkt in der Hälfte der Zeit dann sowohl 1/4 der Höhendifferenz als auch 1/4
der X-Distanz zurück.
Die Position nach der Hälfte der Zeit liegt dann aber auf der direkten Verbindungslinie von P1 und P2 und nicht irgendwo darunter.
Wäre die Bewegung in X-Richtung nicht beschleunigt sondern gleichmäßig, wäre die Verbindungslinie anders gekrümt,
da das konstante dx im Verhältnis zu beschleunigten dy am Anfang größer wäre als am Ende.
(1/4 in Richtung y und 1/2 Weg in Richtung x)
In "deiner" Kurve ist die Höhe von P2 aber schon fast erreicht P2 aber immer noch ziemlich weit weg.
Da muss der Punkt schon ordentlich Gas geben, um das Ziel noch zu erreichen, bevor er zu tief ist.
Ich schließe daraus, ich hab die Frage noch immer nicht Verstanden.

PS:
Jetzt hab ichs, da gehts um eine Rollbahn und nicht um freien Fall.
Jetzt ist mir auch der Zusammenhang mit dem Rätsel vorher etwas klarer.
https://de.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone

Hier noch ein schönes Anschlussproblem: Gebe die Form einer Kette mit Länge L, die unter Einfluss der Schwerkraft zwischen zwei Punkte durchhängt.
Tip: Lagrange-Multiplikator

[Cybermancer]

Keiner? Nicht mal ein Versuch?

[giffi marauder]

Keiner? Nicht mal ein Versuch?

Ad hock geht da gar nichs und eine Lösung googeln ist ja jetzt auch nicht Sinn der Sache.
Aber rein gefühlsmäßig würde ich auf einen Kegelschnitt ev. eine Parabel tippen.
Gegoogelt.
https://de.wikipedia.org/wiki/Kettenlinie_(Mathematik)
Ok, im unteren Bereich stimmts annähernd.

[giffi marauder]

Auch wenns eigentlich trivial ist:
x% von y = y% von x
Also 24% von 50 = 50% von 24 = 12.